三相电机的数学模型

上一篇介绍了三相无刷电机与六步换相。控制器根据转子位置选择两相通电，三相桥负责施加电压，绕组电流建立电磁转矩。这套方法已经能够让电机稳定旋转，却留下了一个对伺服控制很关键的问题：驱动器施加的是电压，目标却是转矩，中间的电流究竟怎样变化？

在低速时，同样的 PWM 占空比可能让电流迅速上升；转速升高后，反电动势会占用母线电压，电流逐渐难以建立。绕组温度变化会改变电阻，转子位置会改变磁链与电感，负载又通过机械运动反过来影响反电动势。换相表只能决定电流应该走哪条路径，无法单独回答这些动态问题。

因此，这一篇要建立一套可以落到工程数据上的永磁同步电机模型。文章会始终使用同一台 24 V 小型关节电机：先看清电机内部结构与常用术语，再从电机端子写出三相方程并说明参数怎样测得；随后把三相电流整理成空间矢量，并跟随转子进入 $dq$ 坐标系；最后计算目标关节转矩需要多少电流、在什么转速下会碰到电压上限，以及模型怎样进入驱动器软件。

1. 建模之前，先看清电机内部

本文具体讨论机器人伺服中常见的内转子、三相、表贴式永磁同步电机（SPMSM）。三相铜绕组固定在外侧定子上，永磁体随内侧转子旋转。电机能够产生转矩的主动部分主要由定子、转子和二者之间的气隙构成；轴承、机壳、编码器与抱闸则把这套电磁结构变成可安装、可反馈、可长期运行的伺服执行器。

沿半径从外向内观察，可以把每个结构与后面的模型量对应起来：

• 机壳固定定子并把绕组和铁芯产生的热量传向安装面。机壳参与机械支撑与散热，但通常不直接进入最小电磁方程。
• 定子铁芯由薄硅钢片叠压而成。铁芯内圆伸出的部分称为齿，齿与齿之间的空间称为槽。分层结构用于抑制涡流，齿和轭部则为磁通提供低磁阻路径。
• 三相绕组嵌在槽内。径向剖面中的铜色区域只表示线圈的轴向导体边，不尝试给出具体相序和绕组连接；一匝完整导线还会在铁芯两端通过端部绕组闭合。铜电阻形成 $R_s$，绕组与铁芯、气隙和转子共同决定电感与磁链。
• 气隙是定子齿顶与转子外圆之间很窄的环形间隔。定转子在这里没有机械接触，磁场却要跨过气隙完成耦合；气隙尺寸会显著影响磁化电流、磁链、齿槽转矩和制造公差。
• 永磁体固定在转子铁芯外圆，并沿圆周按 N、S 极交替排列，为电机提供励磁磁场。图中采用 12 槽、14 极结构，与本文算例的极对数 $p=7$ 一致；其每极每相槽数为 $q=12/(14\times3)=2/7$，属于分数槽结构。图中的铜色导体位置只帮助辨认槽和绕组，不代表一张完整的 12 槽 14 极绕组表。
• 转子铁芯与转轴把永磁体产生的电磁力汇集成机械转矩。转轴由前后轴承支撑，轴承负责定心并承受径向、轴向载荷；径向主动段剖面中通常看不到位于两端的轴承。

永磁体贴在转子表面的结构称为 SPMSM，通常有 $L_d\approx L_q$；永磁体埋入转子铁芯的结构称为 IPMSM，会形成更明显的磁阻差异，因而能够同时利用永磁转矩与磁阻转矩。本文选择 SPMSM 作为算例，是因为它能让电流、磁链和转矩之间的主线更清楚。

完整伺服电机还要沿轴向加入机械支撑与反馈器件：

沿转轴方向，可以把总成明确分成电机本体、保持抱闸和编码器三段。电机本体到后轴承为止；可选抱闸位于后端，用于停稳后锁住转轴；编码器或旋转变压器位于最后端，用于测量转轴位置。图中只展开电机本体，后两段按功能模块简化。实际产品常用同一个后罩把后两段包在一起，但它们的机械作用和电气接口仍然彼此独立。

这里有几条容易混淆的边界：

1. 编码器或旋转变压器属于反馈装置。 它安装在转轴后端，向驱动器报告机械位置和速度。编码器零位相对永磁体磁极的位置决定 $\theta_{e0}$；零位标定错误会把本应产生转矩的电流投影到错误的 $d/q$ 方向。
2. 抱闸通常是断电保持装置。 它在电机停稳后锁住转轴，适合支撑垂直轴或防止掉落；普通保持抱闸不承担频繁动态制动，运动中的减速主要由电机和驱动器完成。
3. 温度传感器贴近绕组。 铜电阻、绝缘寿命和磁钢安全边界都与温度有关，因此温度反馈是持续转矩限制的重要依据。
4. 逆变器和控制器位于伺服驱动器中。 电机本体引出三相功率线以及编码器、温度和抱闸信号线；驱动器负责采样、坐标变换、电流调节和功率开关。把二者合称“伺服系统”更准确。

后文会反复使用下面这些术语：

名词	工程含义
相、绕组	A、B、C 三组按空间规律分布并电气连接的线圈；一相可能跨越多个槽
槽与齿	槽容纳导体和绝缘，齿把磁通引向气隙；槽数并不等于相数
磁极与极对数	一组 N、S 极构成一个极对；$p$ 个极对对应 $2p$ 个磁极
机械角与电角	转子转过机械角 $\theta_m$ 时，磁场相位转过 $\theta_e=p\theta_m+\theta_{e0}$
磁通与磁链	磁通描述穿过截面的磁场总量；磁链还考虑线圈匝数以及每匝链过的磁通
相电压/电流与线电压/电流	相电量以单相绕组或星点为参考，线电量在外部相线之间测量；两者不能省略口径
转子位置反馈	编码器、旋转变压器或霍尔传感器提供位置，其分辨率和零位影响换相与 FOC
额定、持续与峰值	额定值对应厂家规定的供电、冷却和环境条件；峰值受电流与器件限制，持续能力还受整机热边界限制

现在可以把电机内部的因果关系连成一条线：三相绕组建立旋转磁场，磁场跨过气隙作用于转子磁极，形成电磁转矩；转子开始运动后，又在同一组绕组中产生反电动势。 后面的数学模型，就是把这条物理链路压缩成可测量、可计算的参数与状态。

2. 模型需要覆盖整条执行链

机器人上层控制器给出的通常是关节目标力矩 $\tau_l^*$。电机驱动器收到命令后，要经过减速器换算、电流控制、PWM 和三相逆变器，才能在绕组中建立电流；电磁转矩推动转子和负载运动，位置、电流、母线电压与温度又被传感器送回控制器。

这条链路可以分成三个时间尺度不同、接口清楚的模型：

1. 功率电子模型把直流母线电压 $V_{dc}$ 和 PWM 占空比变成定子电压；
2. 电磁模型把定子电压变成绕组电流与电磁转矩；
3. 机械模型把电磁转矩变成转速和位置。

本文重点放在第二层，同时保留上下两层的边界。若只写电机方程，却不说明逆变器能够提供多大电压、负载需要多大转矩，模型仍然无法判断一个命令是否可执行。

下面给出贯穿全文的教学算例。它代表一类小型表贴式永磁同步电机（SPMSM），参数量级接近机器人关节常见的低压伺服电机，但不对应某个具体商品。

参数	符号	示例值	口径
直流母线电压	$V_{dc}$	$24\ \mathrm{V}$	逆变器输入
极对数	$p$	$7$	电角度周期数/机械转
定子相电阻	$R_s$	$0.18\ \Omega$	$25^\circ\mathrm C$，每相
$d$ 轴电感	$L_d$	$220\ \mu\mathrm H$	小信号值
$q$ 轴电感	$L_q$	$240\ \mu\mathrm H$	小信号值
永磁磁链	$\psi_f$	$6.5\ \mathrm{mWb}$	相磁链峰值
转子惯量	$J_m$	$2.5\times10^{-5}\ \mathrm{kg\,m^2}$	电机轴
减速比	$n$	$9$	$n=\omega_m/\omega_l$
传动效率	$\eta$	$0.85$	正向驱动近似
PWM/电流更新频率	$f_s$	$20\ \mathrm{kHz}$	$T_s=50\ \mu\mathrm s$

所有电流坐标变换采用幅值不变约定：平衡三相正弦电流的相电流峰值，等于对应空间矢量的幅值。后文中的 $i_q$ 因而是峰值口径。这个约定会直接影响 $3/2$ 系数、转矩常数以及峰值/RMS 换算，必须从一开始固定下来。

3. 端子后面是一组耦合的绕组

对任意一相绕组，电压都要同时克服电阻压降和磁链变化：

$$u_k=R_si_k+\frac{d\lambda_k}{dt}, \qquad k\in\{a,b,c\}$$

把三相写成向量形式：

$$\boldsymbol u_{abc} =R_s\boldsymbol i_{abc} +\frac{d\boldsymbol\lambda_{abc}}{dt}$$

总磁链包含定子电流建立的磁链，以及转子永磁体链过绕组的磁链：

$$\boldsymbol\lambda_{abc} =\mathbf L_{abc}(\theta_e)\boldsymbol i_{abc} +\boldsymbol\lambda_f(\theta_e)$$

$\mathbf L_{abc}$ 不只有三相自感，也包含相间互感；对凸极电机，它还会随转子电角度 $\theta_e$ 变化。$\boldsymbol\lambda_f$ 则是永磁体在三相绕组中形成的周期磁链。机械角度与电角度仍满足：

$$\theta_e=p\theta_m+\theta_{e0}, \qquad \omega_e=p\omega_m$$

对中性点未引出的对称星形绕组：

$$i_a+i_b+i_c=0$$

三相电流因此只有两个独立自由度。逆变器也无法任意指定三个相对中性点的相电压，它直接产生的是线电压；内部中性点会随开关状态漂移。实际控制与测量中，必须区分下面几组量：

容易混淆的量	关系与含义
相电阻 $R_s$ 与线间电阻 $R_{ll}$	对对称星形绕组，直流测量近似满足 $R_{ll}=2R_s$
相电流与线电流	星形连接中二者数值相同；三角形连接不成立
相电压与线电压	$u_{ab}=u_a-u_b$；星点未引出时不能把桥臂中点电压直接当成相电压
峰值与 RMS	正弦量满足 $I_{\mathrm{rms}}=I_{\mathrm{pk}}/\sqrt2$
机械速度与电角速度	$\omega_e=p\omega_m$，反电动势与电角速度相关

完整的 $abc$ 模型忠实对应电机端子，也适合分析相不对称、开路故障和谐波。它的代价是参数随转子位置周期变化，三相变量又彼此耦合。后面的坐标变换并不会改变电机物理，只是把同一组方程整理到更适合控制的视角。

4. 参数要从实物上获得

数学模型里的 $R_s$、$L_d$、$L_q$、$\psi_f$、$J$ 和摩擦参数，都需要由数据手册、有限元结果或实验辨识给出。工程上最常见的起点，是锁定转子、限制测试电流，分几组试验逐项获得参数。

相电阻。 对星形连接且中性点未引出的电机，在任意两根相线之间做四线制低阻测量，电流会串联流过两相绕组：

$$R_{ll}\approx2R_s$$

示例电机应测得约 $0.36\ \Omega$。普通万用表的表笔和接触电阻可能与绕组电阻同量级，因此更可靠的方法是施加受限直流，分别测量线间电压与电流，或使用四线开尔文测量。测试时间还应足够短，避免绕组升温改变结果。

铜电阻随温度近似变化为：

$$R_s(T)=R_s(T_0) \left[1+\alpha_{\mathrm{Cu}}(T-T_0)\right]$$

取 $\alpha_{\mathrm{Cu}}\approx0.00393\ \mathrm{K}^{-1}$，示例电机从 $25^\circ\mathrm C$ 升到 $100^\circ\mathrm C$ 后，相电阻会由 $0.18\ \Omega$ 增至约 $0.233\ \Omega$。用冷态参数整定电流环、却不考虑热态变化，会直接改变控制对象的极点和铜耗。

电感。 锁住转子并施加短电压脉冲，可以从电流斜率估算等效电感。对称星形绕组在简化条件下，线间回路电感约为两倍相轴等效电感；示例电机沿 $d$ 轴测得的线间电感约为 $0.44\ \mathrm{mH}$。不过，单次 LCR 表读数只能得到某个转子角度、频率和电流幅值下的等效值。要分辨 $L_d$ 与 $L_q$，应让测试磁动势分别对准转子磁链轴和正交轴；若电机存在磁饱和，还要在不同偏置电流下重复测量。

永磁磁链。 用外部设备匀速拖动开路电机，测量线间反电动势的频率与幅值。对正弦磁链，线间反电动势 RMS 为：

$$E_{ll,\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{3}{2}}\,\omega_e\psi_f$$

示例电机在 $1000\ \mathrm{r/min}$ 时有 $\omega_e=7\times1000\times2\pi/60\approx733\ \mathrm{rad/s}$，因此应测得：

$$E_{ll,\mathrm{rms}} \approx5.84\ \mathrm V$$

等价的数据手册口径是 $5.84\ \mathrm{V_{rms,ll}/krpm}$，或 $8.25\ \mathrm{V_{pk,ll}/krpm}$。只写“反电动势常数为 5.84 V/krpm”仍然不够，必须同时标明线间/相、峰值/RMS 和机械转速/电角速度。

机械参数。 转子惯量可以来自 CAD、摆锤试验、已知转矩下的加速度，或断电滑行曲线；粘性摩擦和库仑摩擦则需要结合不同速度与方向的数据拟合。装进机器人以后，控制器面对的惯量还包括经减速比折算到电机轴的负载惯量，不能只使用电机转子的数据。

这些测试共同建立了一张从实物到模型的参数表。接下来先不做坐标变换，直接看看最简单的线间电压怎样形成绕组电流。

5. 电流不会跟着 PWM 瞬间跳变

锁住转子以后，反电动势为零。若把 A、B 两相组成的线间回路近似成 $R_{ll}$ 与 $L_{ll}$ 串联，并施加恒定线电压 $V$：

$$L_{ll}\frac{di}{dt}+R_{ll}i=V$$

初始电流为零时：

$$i(t)=\frac{V}{R_{ll}} \left(1-e^{-t/\tau_e}\right), \qquad \tau_e=\frac{L_{ll}}{R_{ll}}$$

示例电机取 $R_{ll}=0.36\ \Omega$、$L_{ll}=0.44\ \mathrm{mH}$，电气时间常数为：

$$\tau_e\approx1.22\ \mathrm{ms}$$

若施加 $6\ \mathrm V$ 的短脉冲，理想响应为：

时间	线电流
$50\ \mu\mathrm s$	$0.67\ \mathrm A$
$0.5\ \mathrm{ms}$	$5.60\ \mathrm A$
$1.0\ \mathrm{ms}$	$9.31\ \mathrm A$
$2.0\ \mathrm{ms}$	$13.42\ \mathrm A$

稳态值会达到 $V/R_{ll}=16.7\ \mathrm A$，远高于许多小型电机的持续电流，因此参数辨识只能使用受限电流和短脉冲。这个结果也解释了驱动器为什么需要快速硬件过流保护：软件即使在下一个 $50\ \mu\mathrm s$ 控制周期才发现错误，电流也已经发生了可观变化。

PWM 把母线电压切成高频脉冲，电感则把脉冲电压积分成较平滑的电流。在中等调制度、忽略电阻和反电动势的粗略估计下，电流峰峰纹波量级为：

$$\Delta i_{pp}\sim \frac{V_{dc}}{4f_sL}$$

代入 $24\ \mathrm V$、$20\ \mathrm{kHz}$ 和 $220\ \mu\mathrm H$，得到约 $1.36\ \mathrm A_{pp}$。真实纹波还取决于空间矢量位置、占空比、反电动势、采样时刻和续流方式；这个估算已经足以说明，低电感电机需要更高的 PWM 频率、更低的母线电压或额外电感，才能维持可接受的纹波。

转子开始旋转后，绕组方程中还要加入反电动势。固定的占空比因此不会对应固定电流，更不会对应固定转矩。要把三相电流作为一个整体控制，下一步需要利用它只有两个自由度这一事实。

6. 三相电流可以整理成一个空间矢量

在定子上，A、B、C 三相磁动势轴相隔 $120^\circ$ 电角度。每相电流沿自己的相轴建立磁动势，三者叠加后得到一个平面矢量。Clarke 变换只是把这个合成结果写到固定的正交坐标轴 $\alpha\beta$ 上。

本文采用幅值不变形式：

$$\begin{bmatrix} i_\alpha\\[2pt] i_\beta \end{bmatrix} =\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\[4pt] 0 & \frac{\sqrt3}{2} & -\frac{\sqrt3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{bmatrix}$$

当 $i_a+i_b+i_c=0$ 时，可以简化为：

$$i_\alpha=i_a, \qquad i_\beta=\frac{i_b-i_c}{\sqrt3}$$

以某个采样时刻为例，编码器给出的转子电角度为 $\theta_e=30^\circ$，测得三相电流：

$$\begin{bmatrix}i_a&i_b&i_c\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-4&8&-4\end{bmatrix}\ \mathrm A$$

三相电流之和为零。代入 Clarke 变换：

$$i_\alpha=-4\ \mathrm A, \qquad i_\beta=4\sqrt3\approx6.93\ \mathrm A$$

空间矢量幅值为 $8\ \mathrm A$，方向为 $120^\circ$。三相示波器波形中的三个瞬时数值，由此变成定子平面上一根有长度、有方向的电流矢量。逆变器输出电压、永磁磁链和反电动势都可以用相同方式变换到这个平面。

六步换相让定子电压矢量在六个方向之间跳转；正弦驱动则希望电流矢量连续旋转。可是在固定的 $\alpha\beta$ 坐标系里，这根矢量仍然随时间转动，不适合直接用普通 PI 调节器追踪。继续跟着转子转动一次，问题会明显简化。

7. d 轴与 q 轴：跟随转子的坐标系

这里的“轴”不是电机里新增的两根导线或两组绕组，而是画在转子上的两条坐标轴。可以把转子永磁体产生的基波磁链看成一支随转子旋转的箭头：箭头所指的方向定义为 $d$ 轴，英文称 direct axis，即直轴；从 $d$ 轴沿正电角度方向转过 $90^\circ$ 得到 $q$ 轴，英文称 quadrature axis，即交轴。两条轴彼此正交，并始终跟着转子磁场一起旋转。

它们使用的是电角度。对于极对数为 $p$ 的电机，转子机械转过一周，$dq$ 坐标系相对定子转过 $p$ 个电周期：

$$\theta_e=p\theta_m+\theta_{e0}$$

其中 $\theta_{e0}$ 是编码器零位与转子磁极方向之间的偏置。FOC 上电前需要辨识这个偏置，否则控制器眼中的 $d$ 轴不会真正对准永磁磁链，$i_d$ 与 $i_q$ 也会被错误地混合。

任意一根定子电流空间矢量，都可以在这两条轴上投影：

$$\boldsymbol i_s=i_d\boldsymbol e_d+i_q\boldsymbol e_q$$

• $i_d$ 是电流矢量沿转子磁链方向的分量，主要改变等效气隙磁链。对本文的 SPMSM，基速以下通常令 $i_d=0$；高速弱磁时施加负 $i_d$，用定子磁动势抵消一部分永磁磁链。
• $i_q$ 是垂直于转子磁链的分量，它与永磁磁场作用产生切向力，因此直接决定主要电磁转矩；改变 $i_q$ 的符号，也会改变转矩方向。

“磁链电流”和“转矩电流”描述的是同一组三相电流在旋转坐标系中的两个投影，并不存在两套独立电流回路。对于内埋式永磁电机，$L_d\ne L_q$，$i_d$ 与 $i_q$ 还会共同产生磁阻转矩；因此这组称呼表达的是主要物理作用，不能脱离具体电机结构理解。

固定的 $\alpha\beta$ 坐标系观察电流矢量时，它仍随转子不断旋转。Park 变换相当于让观察者站到转子上，把同一根矢量旋转 $-\theta_e$ 后重新读数：

$$\begin{bmatrix} i_d\\ i_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta_e & \sin\theta_e\\ -\sin\theta_e & \cos\theta_e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{bmatrix}$$

把上一节的 $i_\alpha=-4\ \mathrm A$、$i_\beta=6.93\ \mathrm A$ 和 $\theta_e=30^\circ$ 代入：

$$i_d=0, \qquad i_q=8\ \mathrm A$$

这组结果具有直接的物理意义：定子电流矢量与转子磁链正交，没有沿磁链方向的 $d$ 轴分量，全部电流都落在产生正转矩的 $q$ 轴上。只要电流矢量与转子同步旋转，三相电流在定子坐标系里仍是正弦量，$i_d$ 和 $i_q$ 却可以保持为常数。

坐标变换真正解决的是控制对象的表达问题。三相电流并没有消失，逆变器也仍然输出三相 PWM；控制器只是把测量结果转到一个随转子运动的坐标系，让磁链分量和转矩分量成为近似直流量。FOC 能够使用普通 PI 电流环，基础就在这里。

8. dq 模型把耦合项显式写了出来

将三相电压和磁链方程使用同一组 Clarke/Park 变换整理，可得到同步旋转坐标系中的 PMSM 电压方程：

$$u_d =R_si_d+L_d\frac{di_d}{dt} -\omega_eL_qi_q$$ $$u_q =R_si_q+L_q\frac{di_q}{dt} +\omega_e(L_di_d+\psi_f)$$

每一项都对应明确的物理作用：

• $R_si_d$、$R_si_q$ 是铜阻压降；
• $L_d\,di_d/dt$、$L_q\,di_q/dt$ 决定电流变化速度；
• $-\omega_eL_qi_q$ 与 $\omega_eL_di_d$ 来自坐标系旋转造成的交叉耦合；
• $\omega_e\psi_f$ 是永磁体产生的速度反电动势。

电磁转矩为：

$$T_e=\frac{3}{2}p \left[\psi_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q\right]$$

第一项是永磁转矩，第二项是凸极带来的磁阻转矩。示例电机接近表贴式结构，$L_d$ 与 $L_q$ 差异很小；若令 $i_d=0$，转矩近似为：

$$T_e\approx\frac{3}{2}p\psi_fi_q =0.06825i_q\ \mathrm{N\,m}$$

于是 $i_q=8\ \mathrm A$ 时：

$$T_e\approx0.546\ \mathrm{N\,m}$$

这里的转矩常数 $0.06825\ \mathrm{N\,m/A}$ 对应相电流峰值或幅值不变坐标中的 $i_q$。若数据手册使用正弦相电流 RMS，则同一电机的数值会变成：

$$K_{t,\mathrm{rms}} =\sqrt2\times0.06825 \approx0.0965\ \mathrm{N\,m/A_{rms}}$$

两个数都可以正确，前提是电流口径与变换约定一致。驱动器软件、数据手册和测试设备若各用一种定义，会形成一个固定的 $\sqrt2$ 或 $\sqrt3$ 比例误差。

机械端满足：

$$J\frac{d\omega_m}{dt} =T_e-T_L-B\omega_m-T_c\operatorname{sgn}(\omega_m)$$ $$\frac{d\theta_m}{dt}=\omega_m$$

电磁转矩决定加速度，速度又通过 $\omega_e=p\omega_m$ 回到电压方程。至此，电气与机械模型形成了闭环因果链。

9. 电压、速度与温升共同限定可用转矩

有了 $dq$ 方程，就能判断目标电流是否真的可以建立。在线性空间矢量调制区，24 V 母线能够持续合成的定子电压矢量幅值上限近似为：

$$\sqrt{u_d^2+u_q^2} \leq\frac{V_{dc}}{\sqrt3} \approx13.86\ \mathrm V$$

忽略动态项，令 $i_d=0$、$i_q=7.66\ \mathrm A$：

$$u_d=-\omega_eL_qi_q$$ $$u_q=R_si_q+\omega_e\psi_f$$

在 $1000\ \mathrm{r/min}$ 时，$\omega_e\approx733\ \mathrm{rad/s}$，可算得：

$$u_d\approx-1.35\ \mathrm V, \qquad u_q\approx6.14\ \mathrm V$$

电压矢量幅值约 $6.29\ \mathrm V$，母线仍有充分余量。随着转速升高，永磁反电动势和交叉耦合项近似按速度增长；在上述电流下，理想模型约在 $2530\ \mathrm{r/min}$ 碰到 $13.86\ \mathrm V$ 上限。

实际驱动器还要扣除 MOSFET 压降、死区、电流采样延迟和母线纹波，可用基速通常低于这个理想值。超过基速后，继续增加 $u_q$ 已经不可能；后续 FOC 文章会讨论负 $i_d$ 弱磁怎样降低等效磁链，以及为什么弱磁同时增加电流和失磁风险。

低速区更常见的限制来自电流与温升。$i_q=7.66\ \mathrm A$ 对应正弦相电流 RMS：

$$I_{\mathrm{phase,rms}} =\frac{i_q}{\sqrt2} \approx5.42\ \mathrm A$$

三相铜耗在 $25^\circ\mathrm C$ 时为：

$$P_{cu}=3R_sI_{\mathrm{phase,rms}}^2 \approx15.8\ \mathrm W$$

绕组升到 $100^\circ\mathrm C$ 后，电阻上升会把相同电流下的铜耗推到约 $20.5\ \mathrm W$。峰值电流可以短时间产生较大转矩，持续转矩仍由散热路径、允许绕组温度、磁钢温度和逆变器损耗决定。数学模型若没有热边界，只能预测瞬时运动，不能给出可靠的持续工作点。

10. 关节力矩怎样变成模型中的 iq

假设机器人关节需要 $4\ \mathrm{N\,m}$ 输出力矩，减速比 $n=9$、正向效率 $\eta=0.85$。忽略减速器自身加速转矩时，电机轴目标转矩为：

$$T_m^*=\frac{\tau_l^*}{n\eta} =\frac{4}{9\times0.85} \approx0.523\ \mathrm{N\,m}$$

示例 SPMSM 使用 $i_d^*=0$，目标 $q$ 轴电流为：

$$i_q^*=\frac{T_m^*} {\frac32p\psi_f} \approx7.66\ \mathrm A$$

这一步把机器人控制器与电机模型真正接在了一起。上层发送的力矩命令先经过传动模型，得到电机目标转矩；电机参数把目标转矩变成 $i_q^*$；电流环再根据 $dq$ 电压方程计算需要的 $u_d$、$u_q$，调制器把电压矢量变成三相 PWM。

同一套模型也可以直接写进离散仿真。用前向欧拉法做最小实现：

def pmsm_step(state, voltage, load_torque, motor, sample_time):
  i_d, i_q, omega_m, theta_m = state
  u_d, u_q = voltage
  rs, ld, lq = motor.rs, motor.ld, motor.lq
  psi_f, pole_pairs = motor.psi_f, motor.pole_pairs

  omega_e = pole_pairs * omega_m
  di_d = (u_d - rs * i_d + omega_e * lq * i_q) / ld
  di_q = (
    u_q - rs * i_q - omega_e * (ld * i_d + psi_f)
  ) / lq

  torque = 1.5 * pole_pairs * (
    psi_f * i_q + (ld - lq) * i_d * i_q
  )
  domega = (
    torque - load_torque - motor.viscous_friction * omega_m
  ) / motor.inertia

  i_d += sample_time * di_d
  i_q += sample_time * di_q
  theta_m += sample_time * omega_m
  omega_m += sample_time * domega
  return i_d, i_q, omega_m, theta_m

这个程序还没有电流 PI、SVPWM、死区和饱和，却已经能够回答三类重要问题：给定电压时电流怎样变化，给定电流时转矩有多大，负载改变后速度怎样响应。加入电压矢量限幅、温度相关电阻、逆变器非线性和实际负载，就能逐步靠近真实驱动器。

11. 一个有用的模型也要说明边界

本文采用的是控制设计中最常见的基波集中参数模型。它把复杂电磁场压缩成 $R_s$、$L_d$、$L_q$ 和 $\psi_f$，适合解释 FOC、电流环、弱磁、观测器和系统级仿真。真实电机偏离模型的地方需要保留在工程判断中：

• 磁饱和与交叉饱和会让 $L_d$、$L_q$ 随 $i_d$、$i_q$ 改变；
• 永磁磁链会随温度下降，严重过流或高温还可能造成不可逆退磁；
• 槽谐波、齿槽转矩和反电动势谐波会产生额外转矩纹波；
• 铁耗在较高电频率下不能继续忽略；
• 死区、器件压降和母线纹波会使实际相电压偏离 PWM 指令；
• 编码器零位、极对数和采样延迟的误差会把电流投影到错误的 $d/q$ 方向；
• 减速器的摩擦、回差、弹性和负载惯量会改变机械端响应。

专业建模并不追求一次写出包含所有细节的巨大方程。更实用的做法是先建立能够解释主导动态的最小模型，再用示波器、电流采样、反电动势和机械响应验证它；当残差呈现出稳定规律时，再加入温度、饱和、谐波或传动弹性。

现在，六步换相与 FOC 之间的缺口已经补上：三相端子方程说明电压怎样建立电流，Clarke 变换把三相量整理成定子空间矢量，Park 变换让电流相对转子静止，$dq$ 模型再把磁链分量、转矩分量、反电动势和电压限制写成可计算的关系。

下一篇将以这套模型为基础进入 FOC。重点不再重复坐标变换，而是回答控制器怎样让 $i_d$、$i_q$ 跟随目标，怎样利用前馈解耦处理速度耦合项，以及电压饱和后应如何保持稳定。

参考资料

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2. Kollmorgen, What Are the Five Major Components of a Brushless Servo Motor?.
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4. Microchip, AN1078: Sensorless Field Oriented Control of PMSM Motors.
5. Microchip, AN1017: Sinusoidal Control of PMSM Motors with dsPIC30F DSC.
6. NXP Semiconductors, AN13879: 3-phase PMSM Motor Control Power Inverter Module.
7. MathWorks, PMSM Parameterization from Measurements.
8. MathWorks, Estimate PMSM Parameters Using Custom Hardware.
9. James L. Kirtley Jr., MIT OpenCourseWare, 6.685 Electric Machines: Lecture Notes.
10. Paul C. Krause, Oleg Wasynczuk, Scott D. Sudhoff, Steven Pekarek, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 3rd ed., Wiley-IEEE Press, 2013.
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