电机如何产生转矩

在机器人控制器里，关节的期望输出常常写成一个力矩：

$$\tau_d$$

可电机端没有“力矩输入端口”。驱动器真正能够施加的是电压，能够测量和调节的是电流；转矩要等电流进入绕组、磁场作用于导体以后才会出现。

这中间发生了两件方向相反、又彼此联系的事：

• 电流进入磁场，导体受到力，电能开始转化为机械能；
• 导体在磁场中运动，绕组产生反电动势，机械运动反过来影响电流。

理解这对关系，就抓住了电机的共同骨架。三相无刷电机、永磁同步电机和磁场定向控制会使用更复杂的绕组与坐标系，底层的能量转换规律并没有改变。

这篇文章先选择结构最直观的永磁直流电机作为教学模型。我们暂时放下三相绕组和功率逆变桥，看看一台电机接通电源以后，究竟怎样一步步产生转矩、加速，并在负载变化后建立新的平衡。

1. 一根通电导线为什么会受到力

先把电机简化到只剩下一根导线。

在 N、S 磁极之间，气隙中存在磁场。若一段长度为 $l$ 的导线垂直穿过磁场，并流过电流 $I$，导线会受到安培力：

$$\boldsymbol F=I\boldsymbol l\times\boldsymbol B$$

$\boldsymbol l$ 指向电流方向，$\boldsymbol B$ 是磁感应强度。两者的叉乘同时给出了力的大小与方向；当电流和磁场互相垂直时，力的大小可以写成：

$$F=BIl$$

这个模型里有两个功能不同的部分。磁极建立气隙磁场，载流导体在磁场中承担能量转换。实际电机可能使用永磁体，也可能使用励磁绕组建立磁场；导体则通常被放进铁芯槽内，排列成许多匝绕组。

增加导体数量、有效长度和气隙磁密，都能增大电磁力。电机的圆柱形结构还要完成下一步：把导体上的直线力组织成绕转轴的转矩。

2. 两个力怎样组成转矩

把两根有效导体放在转轴两侧，让它们的电流方向相反。两根导体受到的安培力也会反向：一侧向上，另一侧向下。

这两个力的合力可以为零，产生的力矩却会相加。它们组成一个力偶，推动转子绕中心旋转。

若每个力到转轴的距离为 $r$，两侧导体形成的转矩为：

$$\tau_e=2Fr$$

真实转子上分布着许多有效导体。把绕组匝数、磁通、导体长度、转子半径等结构参数归并起来，在磁路近似线性、励磁磁通基本稳定时，电磁转矩可以写成：

$$\tau_e=K_t i$$

$K_t$ 是转矩常数。这个关系把电磁结构浓缩成一个对控制器非常有用的结论：调节电流，就能够调节电磁转矩。

不过，转子位置仍然没有被考虑。两根导体随转子旋转以后，它们相对于定子磁场的位置会持续改变。若电流方向始终不变，电磁转矩也无法始终保持同一方向。

3. 持续旋转为什么需要换相

把转子绕组进一步简化成一只矩形线圈。线圈有 $N$ 匝、面积为 $A$，其法向量为 $\boldsymbol n$，磁矩为：

$$\boldsymbol\mu=NIA\boldsymbol n$$

线圈受到的电磁转矩为：

$$\boldsymbol\tau_e=\boldsymbol\mu\times\boldsymbol B$$

若磁矩与定子磁场之间的夹角为 $\gamma$：

$$\tau_e=NIAB\sin\gamma$$

线圈刚开始转动时，转矩会推动它趋向磁矩与磁场对齐的位置。随着 $\gamma$ 减小，转矩逐渐下降；完全对齐时，$\sin\gamma=0$，线圈到达电磁平衡位置。线圈依靠惯性越过该位置后，原来的电流会产生反向转矩，把它拉回来。

要让转子继续沿同一方向旋转，绕组电流必须在合适的位置改变方向。这个根据转子位置重新安排绕组电流的过程叫作换相。

最简单的有刷直流电机使用固定电刷和随转子旋转的分裂环换向器。转子转过半周后，两片换向片与正负电刷的接触关系交换。外部电源极性没有改变，流入线圈端子却由 $a$ 换成了 $b$，线圈中的电流随之反向。

图中只画了一只线圈和两片换向片。真实直流电机通常有多个电枢线圈与换向片，使不同线圈依次进入合适的受力区域，减小转矩的空缺和波动。机械换向器由此承担了一项重要工作：它用转子的实际位置，直接决定此刻应该让哪组导体流过什么方向的电流。

换相解决了持续旋转的方向问题。接下来还要解释电机接通电源后的动态过程，因为转子一旦开始运动，电气回路本身也会发生变化。

4. 接通电源以后发生了什么

把永磁直流电机的电枢绕组等效为电阻 $R$、电感 $L$ 和一个由转子运动产生的电压源。电压方程为：

$$u=Ri+L\frac{di}{dt}+e$$

运动产生的电压 $e$ 称为反电动势。在磁通基本稳定时，它与机械角速度成正比：

$$e=K_e\omega$$

机械侧满足：

$$J\dot\omega=\tau_e-\tau_L-B_m\omega$$

$J$ 是等效转动惯量，$\tau_L$ 是负载转矩，$B_m\omega$ 表示与速度成正比的机械阻力。把这三个关系按照时间顺序展开，一次启动过程就变得很清楚。

刚接通电源时，转子仍然静止：

$$\omega=0,\qquad e=0$$

此时反电动势还没有建立，绕组电流只受电阻和电感限制。电感决定电流上升得多快，电阻决定堵转状态下最终可能达到多大电流。由于电机绕组电阻通常较小，直接施加额定电压可能产生很大的启动电流。

电流产生电磁转矩，转子开始加速。随着 $\omega$ 增大，反电动势 $e=K_e\omega$ 逐渐升高，并在电压方程中抵消一部分外加电压。留给电阻和电感的电压减小，电流和电磁转矩随之下降。

转速会继续升高，直到电磁转矩与负载转矩和机械损耗达到平衡。此时 $\dot\omega=0$，电机在一个稳定工作点运行。

这个过程也解释了堵转为什么危险。转轴被卡住时，$\omega$ 和 $e$ 始终为零，绕组会持续承受接近 $u/R$ 的电流。若驱动器没有限流，铜耗 $i^2R$ 会迅速加热绕组，功率器件也可能因过流损坏。

5. 负载增加时为什么电流会上升

假设电机已经稳定旋转，此时突然增加负载转矩 $\tau_L$。在最初一瞬间，电磁转矩来不及变化，负载转矩大于电磁转矩，转子开始减速。

转速下降会带来一连串变化：

$$\omega\downarrow \quad\Rightarrow\quad e=K_e\omega\downarrow \quad\Rightarrow\quad i\uparrow \quad\Rightarrow\quad \tau_e=K_t i\uparrow$$

在新的负载下，电流增大，电磁转矩也增大，最终重新与负载和损耗平衡。稳定状态忽略电感压降时：

$$i=\frac{u-K_e\omega}{R}$$

这是一种由电机物理结构形成的自然工作点变化，并不等同于精确的闭环速度控制。电源电压固定时，负载增加通常仍会造成一定的转速下降；电阻、温度和供电变化也会改变最终工作点。

不过，这个现象揭示了两个很有用的工程关系：

• 电流与电磁转矩直接相关，因此电流是观察负载和控制转矩的重要变量；
• 反电动势与转速相关，因此电压需要同时克服电阻压降，并为当前转速留下足够的反电动势空间。

伺服驱动器增加电流、速度和位置闭环，就是为了在这些物理规律之上，更快、更准确地建立需要的工作点。

6. 转矩与反电动势是一对能量关系

转矩常数 $K_t$ 描述“电流怎样产生转矩”，反电动势常数 $K_e$ 描述“运动怎样产生电压”。它们看起来属于两个方向，实际来自同一次机电能量转换。

电磁转换功率为：

$$p_{em}=ei$$

机械侧的电磁功率为：

$$p_{em}=\tau_e\omega$$

代入 $e=K_e\omega$ 与 $\tau_e=K_t i$：

$$K_e\omega i=K_t i\omega$$

因此，在一致的 SI 单位和相同参数定义下：

$$K_e=K_t$$

这个等式体现了电机的双向性。电流与磁场作用时，电机输出转矩；外部机械系统带动转子时，同一台电机也会产生电压并具备发电能力。

电压方程乘以电流，还可以得到瞬时功率平衡：

$$ui=Ri^2+\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Li^2\right)+ei$$

输入电功率分别流向铜耗、绕组磁场储能和机电转换。再考虑摩擦、铁耗与功率器件损耗后，机电转换功率的一部分才成为轴端可用机械功率。

7. 伺服驱动器怎样使用这些关系

回到机器人关节。若负载侧期望力矩为 $\tau_l^*$，定义减速比 $N$ 为“电机转数 / 负载转数”，正向效率为 $\eta$，忽略传动柔性和动态损耗后，电机侧目标力矩近似为：

$$\tau_m^*\approx\frac{\tau_l^*}{N\eta}$$

利用转矩常数，可以继续得到目标电流：

$$i^*=\frac{\tau_m^*}{K_t}$$

电流控制器比较目标电流与实际电流，再调节绕组两端的平均电压。PWM 和功率开关负责实现这个电压，编码器测量转子位置与速度，电流传感器提供转矩相关反馈。

因此，几种变量各有明确分工：

• 电流直接决定电磁转矩；
• 电压推动电流变化，同时要克服反电动势；
• 转速决定反电动势，并影响可用的电压裕量；
• 负载通过机械方程改变加速度和工作点。

有刷直流伺服常用 H 桥改变电枢电压与电流方向，从而实现正转、反转、电动和制动。具体的开关状态、PWM、续流与死区属于功率电子层，后续文章会单独展开。

8. 机械换相怎样走向电子换相

有刷直流电机把换相任务做进了转子：电刷读取转子的几何位置，换向片直接切换电枢连接。这套结构直观有效，也存在滑动摩擦、电刷磨损、电火花、换向能力和散热方面的限制。

若把绕组移到定子上，把永磁体放到转子上，绕组更容易散热，转子结构也可以更加坚固。机械换向器随之消失，换相任务要交给位置传感器、控制算法和功率半导体。

新的问题是：定子绕组固定不动，驱动器怎样产生一个能够持续牵引转子的磁场？

多组空间错开的绕组给出了答案。下一篇《三相无刷电机与六步换相》将从这里继续，解释三相结构为何被广泛采用，转子位置怎样决定换相时刻，以及六只功率开关怎样把直流母线变成按顺序变化的三相电流。

参考资料

1. Austin Hughes and Bill Drury, Electric Motors and Drives: Fundamentals, Types and Applications, Elsevier.
2. Austin Hughes, Electric Motors — The Basics, Chapter 1 sample.
3. James L. Kirtley Jr., DC (Commutator) and Permanent Magnet Machines, MIT OpenCourseWare.
4. Richard Crowder, Electric Drives and Electromechanical Systems, Elsevier.